Анри Коше, родившийся в Лионе в 1901 году, начал свой путь в теннисе в возрасте восьми лет. Его отец работал в местном теннисном клубе, что позволило юному Анри тренироваться с друзьями, когда корты были свободны.
Конкурентная карьера Коше стартовала в 1920 году, принеся ему первые победы на турнирах. Уже в следующем году он завоевал широкую известность, сенсационно выиграв Парижский национальный турнир в закрытых помещениях, будучи совершенно неизвестным игроком в столице.